Уравнения вида \(a^{f(x) }= b\), \(a^{f(x) }= b^{g(x)}\) (где \(a>0, a \neq 1, b>0\) ) называются простейшими показательными. 

Общий вид решения
\(a^{f(x)} = b \Leftrightarrow x=log_{a}{b}\)
\(a^{f(x)} = b^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)\)

Основные методы решения

Сведение обеих частей уравнения к одному основанию

\(3^{5x-12} = \frac{1}{9}\)
\(3^{5x-12} = 3^{-2}\)
\(5x-12 = -2\)
\(5x= 10\)
\(x= 2\)

Вынесение за скобки общего множителя

\(5^x - 2 \cdot 5^{x-2} = 23\)
\(5^{x-2} \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^{x-2} = 23\)
\(5^{x - 2} (5^2-2) = 23\)
\(5^{x - 2}  \cdot 23 = 23\)
\(5^{x - 2}   = 1\)
\(5^{x - 2}   = 5^0\)
\(x - 2   = 0\)
\(x    = 2\)

Замена переменой

\( 4^{x+1} - 3 \cdot 2^x - 10 = 0  \)
\( 4 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x - 10 = 0  \)
\( 4 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 10 = 0  \)
замена \( 2^{x}  = t  \)
\( 4 t^2 - 3 t - 10 = 0  \)
\( t_1  = 2 , t_2 = -\frac{5}{4} \) т.к. \(  t>0\)
обратная замена
\(2^x=2\)
\(x=1\)

Однородные уравнения и сводящиеся к ним

\( 4^x + 3 \cdot 6^x - 4 \cdot 9^x =0\)
\( 2^{2x} + 3 \cdot 2^x \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^{2x} =0\)
Делим обе части уравнения на \(3^{2x} \neq 0 \)
\( \left( \frac{2}{3} \right) ^{2x}  + 3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^{x} - 4=0\)
замена \( \left( \frac{2}{3} \right) ^{x} = t\) \(t>0\)
\(t^2 + 3t -4=0\)
\(t_1 = 1, t_2 = -4\)
обратная замена
\( \left( \frac{2}{3} \right) ^{x} = 1\)
\(x=0\)