Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Основные виды логарифмических уравнений и методы решения

\(log_{a}{f(x)}=b \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x)=a^b \\
a>0 \\
a \neq 0
\end{cases}\)


\(log_{f(x)}{g(x)}=b \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x)^b=g(x) \\
f(x)>0 \\
f(x) \neq 1 \\
g(x) >0
\end{cases}\)


\(log_{a}{f(x)}=log_{a}{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x)=g(x) \\
f(x)>0
\end{cases}\)

или 

\(log_{a}{f(x)}=log_{a}{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x)=g(x) \\
g(x)>0
\end{cases}\)


\(log_{f(x)}{g(x)}=log_{f(x)}{h(x)} \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow
\begin{cases}
g(x)=h(x) \\
g(x)>0 \\
f(x)>0 \\
f(x) \neq 1
\end{cases}\)

или 

\(log_{f(x)}{g(x)}=log_{f(x)}{h(x)} \Leftrightarrow\)

\( \Leftrightarrow
\begin{cases}
g(x)=h(x) \\
h(x)>0 \\
f(x)>0 \\
f(x) \neq 1
\end{cases}\)


\(log_{a}{f(x)}+log_{a}{g(x)} = log_{a}{h(x)} \Leftrightarrow\)

\( \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) \cdot g(x)=h(x) \\
f(x)>0 \\
g(x)>0 \\
h(x) >0
\end{cases}\)


\(log_{a}{f(x)}-log_{a}{g(x)} = log_{a}{h(x)} \Leftrightarrow\)

\( \Leftrightarrow
\begin{cases}
log_{a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = log_{a}{h(x)} \\
f(x)>0 \\
g(x)>0 \\
h(x) >0
\end{cases}\)