Квадратные неравенства — это неравенства, приводимые к виду: \( ax^2 + bx + с > 0; ax^2 + bx + с \geqslant 0; ax^2 + bx + с < 0; ax^2 + bx + с \leqslant 0, a \neq 0\) 

Основные методы решения квадратных неравенств 

1. Сведения к решению систем линейных неравенств

  1. Разложение квадратного трехчлена  \( ax^2 + bx + с \) на множители (\( x_1 \) и \( x_2\) — корни квадратного трехчлена).
  2. Решить совокупность соответствующих систем линейных неравенств 

2. Графический метод

Для решения неравенства вычисляется дискриминат квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + с \), \( D=b^2-4ac\) и его корни \( x_1 \) и \( x_2\)

  1. \( ax^2 + bx + с < 0\)
    \( D<0\) — решение нет
    \( D=0\) — решение нет
    \( D>0\) — \(x\in (x_1; x_2)\)
  2. \( ax^2 + bx + с > 0\) 
    \( D<0\) — \(x\in R\)
    \( D=0\) — \(x\in (- \infty ; x_0) \cup (x_0; + \infty) \)
    \( D>0\) — \(x\in (- \infty ; x_1) \cup (x_2; + \infty) \)
  3. \(  ax^2 + bx + с \leqslant 0\) 
    \( D<0\) — решение нет
    \( D=0\) — \(x = x_0)\)
    \( D>0\) — \(x\in [x_1; x_2]\)
  4. \( ax^2 + bx + с \geqslant 0\) 
    \( D<0\) — \(x\in R\)
    \( D=0\) — \(x\in R\)
    \( D>0\) — \(x\in (- \infty ; x_1] \cup [x_2; + \infty) \)