\(\Delta ABC\) — треугольник
\(A, B, C\) — вершины
\(AB, BC, AC\) — стороны

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек не лежащей на одной прямой и трёх отрезков, которые их попарно соединяют.


В зависимости от соотношения сторон:

разносторонний — все его стороны разные
равнобедренный — равны две его стороны
равносторонний (правильный) — все стороны равны

В зависимости от соотношения углов:

остроугольный — все его углы острые
прямоугольный — один из углов прямой
тупоугольный — один из его углов тупой


Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

\(BH\) — высота


Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Положение ортоцентра зависит от вида треугольника:

остроугольный — внутри области треугольника
тупоугольный — вне области треугольника
прямоугольный — совпадает с вершиной прямого угла

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам. Т.е. наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, а наименьшая высота проведена к наибольшей стороне.


 Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

Свойство медианы треугольника. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины треугольника.

\(BG:GM=1:2\)
\(CG:GN=1:2\)
\(AG:GK=1:2\)


Медианы пересекаются в одной точке, она называется центром масс.


Медиану можно вычислить по формуле

\(m_{a}^{2} = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\), где \(m_{a}^{2}\) — медиана проведенная к стороне \(a\)

В прямоугольном треугольнике \(m_{c} = \frac{c}{2}\), где \(m_{c}\) — медиана проведенная к гипотенузе \(с\)


Биссектриса угла треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны и делящий угол пополам.


Биссектрисы пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.


Свойства биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

\( \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}\), если \(AM\) — биссектриса

\( \frac{NC}{AN} = \frac{BC}{AB}\), если \(BN\) — биссектриса

\( \frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC}\), если \(CK\) — биссектриса


\(m_a \geqslant L_a \geqslant h_a\),
где 
\(m_a\) — медиана на сторону \(a\)
\(L_a\) — биссектриса на сторону \(a\)
\(h_a\) — высота на сторону \(a\)


Серединный перпендикуляр — прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему.

Три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. Эта точка — центр окружности, описанной около данного треугольника.


Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне, а её длина равна половине третьей стороне.

\(MN // AC \) и \(MN = \frac{1}{2} AC \)


Свойства сторон и углов треугольника

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\)


Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника. 


Свойства внешнего угла треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, н смежного с ним.


Неравенство треугольника

\(a < b+c\)

\(a>|b-c|\)

где \(a\), \(b\), \(c\) стороны треугольника.


Равнобедренный треугольник

\(\Delta ABC\) — равнобедренный \((AB=BC)\)
\(AB\) — основание, \(AB\) и \(BC\) — боковые стороны.

Свойства
Если в \(\Delta ABC\) \((AB=BC)\), то  \( \angle A = \angle C\) углы при основании равны

Признак
Если в \(\Delta ABC\) \( \angle A = \angle C\), то \((AB=BC)\) треугольник равнобедренный