Синусом угла \( \alpha \) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе 
Косинусом угла \( \alpha \) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе 
Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение противолежащего катета к прилежащему 
Котангенсом угла \( \alpha \) называется отношение прилежащего катета к противолежащему

Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

\(\alpha\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\ \pi\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(\ 2\pi\)
\(\alpha\) \(0^{\circ}\) \(30^{\circ}\)  \(45^{\circ}\)  \(60^{\circ}\)  \(90^{\circ}\)  \(180^{\circ}\)  \(275^{\circ}\)  \(360^{\circ}\) 
\(sin \alpha\) \(0\)  \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)  \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)  \(1\)   \(0\)  \(-1\) \(0\) 
\(cos \alpha\) \(1\)  \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)  \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)  \(-1\)  \(0\) \(1\) 
\(tg \alpha\) \(0\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\)  \(\sqrt{3}\) \(-\)  \(0\)  \(-\)   \(0\)
\(ctg \alpha\) \(-\) \(\sqrt{3}\)   \(1\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\) \(-\)   \(0\)  \(-\)

 

Основные тригонометрические тождества

\(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\)

\(tg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha}\), \(ctg \alpha = \frac{cos \alpha }{sin \alpha}\)

\( tg \alpha \cdot ctg \alpha  = 1 \)

\( 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha} \)

\( 1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha} \)

Сумма и разность тригонометрических функций 

\( sin \alpha + sin \beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2}  cos \frac{\alpha - \beta}{2}\)

\( cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2}  cos \frac{\alpha - \beta}{2}\)

\( sin \alpha - sin \beta = 2 sin \frac{\alpha - \beta}{2}  cos \frac{\alpha + \beta}{2}\)

\( cos \alpha - cos \beta = - 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2}  sin \frac{\alpha - \beta}{2}\)

Произведение тригонометрических функций

\( sin \alpha \cdot sin \beta = \frac{cos ( \alpha - \beta ) - cos ( \alpha + \beta ) } { 2 }\)

\( sin \alpha \cdot cos \beta = \frac{sin ( \alpha - \beta ) + sin ( \alpha + \beta ) } { 2 }\)

\( cos \alpha \cdot cos \beta = \frac{cos ( \alpha - \beta ) + cos ( \alpha + \beta ) } { 2 }\)

\( tg \alpha \cdot tg \beta = \frac{cos ( \alpha - \beta ) - cos ( \alpha + \beta ) } { cos ( \alpha - \beta ) + cos ( \alpha + \beta ) } = \frac{tg \alpha + tg \beta} { ctg \alpha + ctg \beta } \)

\( ctg \alpha \cdot ctg \beta = \frac{cos ( \alpha - \beta ) + cos ( \alpha + \beta ) } { cos ( \alpha - \beta ) - cos ( \alpha + \beta ) } = \frac{ctg \alpha + ctg \beta} { tg \alpha + tg \beta } \)

\( tg \alpha \cdot ctg \beta = \frac{sin ( \alpha - \beta ) + cos ( \alpha + \beta ) } { sin ( \alpha + \beta ) - sin ( \alpha - \beta ) }  \)

Сумма и разность двух углов

\( sin( \alpha \pm \beta) =  sin \alpha cos \beta  \pm cos \alpha sin \beta \)

\( cos( \alpha \pm \beta) =  cos \alpha cos \beta  \mp sin \alpha sin \beta \)

\( tg ( \alpha \pm \beta) =  \frac {tg \alpha  \pm tg \beta}{1 \mp tg \alpha tg \beta} , \alpha , \beta , \alpha \pm \beta \neq \frac{ \pi }{2} + \pi n , n \in Z \)

\( ctg ( \alpha \pm \beta) =  \frac {ctg \alpha ctg \beta \mp 1}{ctg \alpha c \pm tg \beta} , \alpha , \beta , \alpha \pm \beta \neq \pi n , n \in Z \)

Синус и косинус двойного угла 

\( sin 2 \alpha = 2  sin \alpha cos \alpha\)

\( cos 2 \alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha \)

\(tg 2 \alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2 \alpha} \)

\(ctg 2 \alpha = \frac{ctg^2 - 1}{  2ctg\alpha} \)

\(2sin^2 \alpha = 1 - 2 cos 2 \alpha \)

\(2cos^2 \alpha = 1 - 2 cos 2 \alpha \)