Логарифмом числа \(b\) по основания \(a\) называется показатель степени, в которую нужно возвести число \(a\), что бы получить \(b\).

Обозначается: \( log_{a}b\) (логарифм \(b\)  по основания \(a\))
где \(a>0, a \neq 1, b>0\)

Пример: \(2^3=8 \iff log_{2}8=3\)

Основное логарифмическое тождество

\(a^{log_{a}b} = b\)
\(a>0, a \neq 1, b>0\)

\(log_{a}1 = 0, log_{a}a = 1\)
\(a>0, a \neq 1\)

Логарифм произведения

\( log_{c}{ab} = log_{c}{a} + log_{c}{b}\)
\( a>0, b>0, c>0, c \neq 1\)

Логарифм частного

\( log_{c}{ \frac{a}{b}  } = log_{c}{a} - log_{c}{b}\)
\( a>0, b>0, c>0, c \neq 1\)

Логарифм степени

\( log_{c}{a^k} = k log_{c}{a}\) 
\( a>0, c>0, c \neq 1, k \in R \)

\( log_{a^m}{b^n} = \frac{n}{m} log_{a}{b}\) 
\( a>0, b>0, a \neq 1, m,n \in R,  m \neq 0 \)

Переход к новому основанию

 \( log_{b}{a} = \frac{log_{c}{a}}{log_{c}{b}}\)
 \( a>0, b>0, b \neq 1, c>0, c \neq 1 \)

 \( log_{a}{b} = \frac{1}{log_{b}{a}}\)
 \( a>0, a \neq 1, b>0, b \neq 1 \)

\(a^{log_{c}{b}} = b^{log_{c}{a}} \)
 \( a>0, a \neq 1, b>0, b \neq 1,  c>0, c \neq 1 \)

Сравнение логарифмов

Если \(a>0\) и \(0<x_1<x_2\), то \( log_a{x_1} < log_a{x_2}\) (знак неравенства не меняется)  

Если \(0<a>1\) и \(0<x_1<x_2\), то \( log_a{x_1} > log_a{x_2}\) (знак неравенства меняется) 

Десятичный и натуральный логарифм, число \(e\)

Логарифм по основанию 10 называется десятичным:  \( log_{10}{a} = lg{a}\)

Логарифм по основанию \(e\) называется натуральным:  \( log_{e}{a} = ln{a}\)