Арифметический корень \(n-\)й степени \( (n \in N, n \geqslant 2) \) из неотрицательного числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\), \(n-\)я степень которого равна \(a\).
\( \sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n=a\)

Корень четной степени из отрицательного числа не определен

Тождества

Если \( \sqrt[n]{a}\) существует, то 

\( \sqrt[n]{a^n} = a\)

\( \sqrt[2n]{a^{2n} }= |a|, a \in R\)

\( \sqrt[2n-1]{a^{2n-1} } = a, a \in R\)

Основные свойства арифметического корная \(n-\)й степени

\( \sqrt[nk]{a^{mk} } = \sqrt[n]{a^{m} } \)
\(  a \geqslant 0, m \in Z, n \in N\)

\( \sqrt[m]{\sqrt[n] {a} } = \sqrt[mn]{a} \)
\(  a \geqslant 0, n \in N, n \neq 1\)

\( (\sqrt[n] {a} )^k = \sqrt[n]{a^k} \)
\(  a \geqslant 0, k \in N\)

\( \sqrt[n] {ab}  = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \)
\(  n \in N, n \geqslant 2,  a \geqslant 0, b \geqslant 0,\)

\( \sqrt[n] { \frac{a}{b}}  = { \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}  \)
\(  n \in N, n \geqslant 2,  a \geqslant 0, b > 0,\)

Если \(  a>b \geqslant 0\), то \(  \sqrt[n] {a} > \sqrt[n] {b} \)

Если \(  a>1\), то \(  \sqrt[n] {a} > 1\)  и \( \sqrt[n] {a} < a \)

Если \(  0< a <1\), то \( 0 < \sqrt[n] {a} < 1\)  и \( \sqrt[n] {a} > a \)

Степень с рациональным показателем 

\( a ^  \frac{m}{n}  = \sqrt[n]{a^m} \)
\(  a \neq 0, m \in Z, n \in N,  n > 2\)