Онлайн курсы

с лучшими преподавателями из МГУ, МФТИ, ВШЭ

Решение иррациональных уравнений

Иррациональное уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства. 

 

1. \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\)

 

\( \left\{ \begin{array}{2} f(x) = g(x)\\ f(x) \geqslant 0 \end{array} \right. \) или  \( \left\{ \begin{array}{2} f(x) = g(x)\\ g(x) \geqslant 0 \end{array} \right.\)

 

Замечание. Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

 

2.  \(\sqrt{f(x)}=a\)

 

Если \(a<0\), уравнение не имеет корней.
Если \(a \geqslant 0\), уравнение равносильно уравнению \(f(x)=a^2\).

 

Замечание. Иногда иррациональное уравнение можно свести к приведенному виду с помощью переменной.

 

3.  \(\sqrt{f(x)}=g(x)\)

 

\( \left\{ \begin{array}{2} g(x) \geqslant 0\\ f(x) = g^2 (x) \end{array} \right. \)