Онлайн курсы

с лучшими преподавателями из МГУ, МФТИ, ВШЭ

Все формулы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

\(sin^2x+cos^2x=1\)
\(tgx= \frac{sinx}{cosx}\)
\(ctgx= \frac{cosx}{sinx}\)
\(tgxctgx=1\)
\(tg^2x+1= \frac{1}{cos^2x}\)
\(ctg^2x+1= \frac{1}{sin^2x}\)

 

Формулы двойного аргумента (угла)

\(sin2x=2cosxsinx\)

\(sin2x= \frac{2tgx}{1+tg^2x}= \frac{2ctgx}{1+ctg^2x} = \frac{2}{tgx+ctgx}\)

\(cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x\)

\(cos2x= \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}= \frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}= \frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx} \)

\(tg2x= \frac{2tgx}{1-tg^2x}= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}= \frac{2}{ctgx-tgx}\)

\(ctg2x= \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}= \frac{ctgx-tgx}{2}\)

 

Формулы тройного аргумента (угла)

\(sin3x=3sinx-4sin^3x\)

\(cos3x=4cos^3x-3cosx\)

\(tg3x= \frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}\)

\(ctg3x= \frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}\)

 

Формулы половинного аргумента (угла)

\(sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}\)

\(cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}\)

\(tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}\)

\(ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}\)

\(tg \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{sinx}= \frac{sinx}{1+cosx}\)

\(ctg \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{sinx}= \frac{sinx}{1-cosx}\)

 

Формулы квадратов тригонометрических функций

\(sin^2x= \frac{1-cos2x}{2}\)

\(cos^2x= \frac{1+cos2x}{2}\)

\(tg^2x= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}\)

\(ctg^2x= \frac{1+cos2x}{1-cos2x}\)

\(sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}\)

\(cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}\)

\(tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}\)

\(ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}\)

 

Формулы кубов тригонометрических функций

\(sin^3x= \frac{3sinx-sin3x}{4}\)

\(cos^3x= \frac{3cosx+cos3x}{4}\)

\(tg^3x= \frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}\)

\(ctg^3x= \frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}\)

 

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

\(sin^4x= \frac{3-4cos2x+cos4x}{8}\)

\(cos^4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}\)

 

Формулы сложения аргументов

\(sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta \)

\(tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}\)

\(ctg(\alpha + \beta)= \frac{-1 + ctg \alpha ctg \beta }{ctg \alpha + ctg \beta}\)

\(sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta\)

\(cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta\)

\(tg(\alpha - \beta)= \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}\)

\(ctg(\alpha - \beta)= \frac{-1 - ctg \alpha ctg \beta }{ctg \alpha - ctg \beta}\)

 

Формулы суммы тригонометрических функций

\(sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta }{2}\)

\(cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta }{2}\)

\(tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta} \)

\(ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{sin \alpha sin \beta}\)

\((sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha \)

 

Формулы разности тригонометрических функций

\(sin\alpha - sin\beta = 2sin \frac{\alpha - \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}\)

\(cos\alpha - cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha - \beta }{2}\)

\(tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta) }{cos \alpha cos \beta} \)

\(ctg\alpha - ctg\beta = - \frac{sin(\alpha - \beta) }{sin \alpha sin \beta}\)

\((sin\alpha - cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha \)

 

Формулы произведения тригонометрических функций

\(sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}\)

\(sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}\)

\(cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}\)

\(tg\alpha \cdot tg\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta}\)

\(ctg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)} = \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta}\)

\(tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta)}\)