Все формулы по тригонометрии

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Основные тригонометрические тождества

$$sin^2x+cos^2x=1$$

$$tgx= \frac{sinx}{cosx}$$

$$ctgx= \frac{cosx}{sinx}$$

$$tgxctgx=1$$

$$tg^2x+1= \frac{1}{cos^2x}$$

$$ctg^2x+1= \frac{1}{sin^2x}$$

Формулы двойного аргумента (угла)

$$sin2x=2cosxsinx$$

\begin{align} sin2x &=\frac{2tgx}{1+tg^2x}\\ &= \frac{2ctgx}{1+ctg^2x}\\ &= \frac{2}{tgx+ctgx} \end{align}

\begin{align} cos2x & = \cos^2x-sin^2x\\ &= 2cos^2x-1\\ &= 1-2sin^2x \end{align}

\begin{align} cos2x & = \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}\\ &= \frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}\\ &= \frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx} \end{align}

\begin{align} tg2x & = \frac{2tgx}{1-tg^2x}\\ &= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\\ &= \frac{2}{ctgx-tgx} \end{align}

\begin{align} ctg2x & = \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}\\ &= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\\ &= \frac{ctgx-tgx}{2} \end{align}

Формулы тройного аргумента (угла)

$$sin3x=3sinx-4sin^3x$$

$$cos3x=4cos^3x-3cosx$$

$$tg3x= \frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$$

$$ctg3x= \frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}$$

Формулы половинного аргумента (угла)

$$sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}$$

$$cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}$$

$$tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}$$

$$ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}$$

\begin{align} tg \frac{x}{2} & = \frac{1-cosx}{sinx}\\ &= \frac{sinx}{1+cosx} \end{align}

\begin{align} ctg \frac{x}{2} & = \frac{1+cosx}{sinx}\\ &= \frac{sinx}{1-cosx} \end{align}

Формулы квадратов тригонометрических функций

$$sin^2x= \frac{1-cos2x}{2}$$

$$cos^2x= \frac{1+cos2x}{2}$$

$$tg^2x= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}$$

$$ctg^2x= \frac{1+cos2x}{1-cos2x}$$

$$sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}$$

$$cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}$$

$$tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}$$

$$ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}$$

Формулы кубов тригонометрических функций

$$sin^3x= \frac{3sinx-sin3x}{4}$$

$$cos^3x= \frac{3cosx+cos3x}{4}$$

$$tg^3x= \frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}$$

$$ctg^3x= \frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}$$

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

$$sin^4x= \frac{3-4cos2x+cos4x}{8}$$

$$cos^4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$

Формулы сложения аргументов

$$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$$

$$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$$

$$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}$$

$$ctg(\alpha + \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta -1}{ctg \alpha + ctg \beta}$$

$$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$$

$$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$$

$$tg(\alpha - \beta)= \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}$$

$$ctg(\alpha - \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta +1}{ctg \alpha - ctg \beta}$$

Формулы суммы тригонометрических функций

$$sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta }{2}$$

$$cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta }{2}$$

$$tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

$$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha$$

Формулы разности тригонометрических функций

$$sin\alpha - sin\beta = 2sin \frac{\alpha - \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}$$

$$cos\alpha - cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha - \beta }{2}$$

$$tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

$$ctg\alpha - ctg\beta = - \frac{sin(\alpha - \beta) }{sin \alpha sin \beta}$$

$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha$$

Формулы произведения тригонометрических функций

$$sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}$$

$$sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}$$

$$cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}$$

\begin{align} tg\alpha \cdot tg\beta & = \frac{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)}\\ &= \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta} \end{align}

\begin{align} ctg\alpha \cdot ctg\beta & = \frac{cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta)}\\ &= \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta} \end{align}

$$tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta)}$$