Формулы производных

Функция, $ f(x)$	Производная, $ f'(x)$
$ A (const), A\in\mathbf{R}$	$ 0$
$ kx+b, k\in\mathbf{R}, b\in\mathbf{R} $	$ k, k\in\mathbf{R} $
$ x^{2} $	$ 2x $
$ x^{n}, n\in\mathbf{N} $	$ nx^{n-1}, n\in\mathbf{N} $
$ \frac{1}{x} $	$ -\frac{1}{x^{2}} $
$ \frac{1}{x^{n}}, n\in\mathbf{N} $	$ -\frac{n}{x^{n+1}}, n\in\mathbf{N} $
$ \sqrt{x} $	$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$ \sqrt[n]{x}, n\in\mathbf{N} $	$ \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}, n\in\mathbf{N} $
$ \frac{1}{\sqrt{x}} $	$ -\frac{1}{2x\sqrt{x}} $
$ x^{a}, a\in\mathbf{R} $	$ ax^{a-1}, a\in\mathbf{R} $
$ tgx $	$ \frac{1}{cos^{2}x} $
$ ctgx $	$ -\frac{1}{sin^{2}x} $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ sin^{2}x $	$ sin2x $
$ cos^{2}x $	$ -sin2x $
$ e^{x} $	$ e^{x} $
$ a^{x} $	$ a^{x}lna $
$ lnx $	$ \frac{1}{x} $
$ log_{a}x $	$ \frac{1}{xlna} $
$ arcsinx $	$ \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $
$ arccosx $	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $
$ arctgx $	$\frac{1}{1+x^{2}} $
$ arcctgx $	$-\frac{1}{1+x^{2}} $

Правила дифференцирования

$ (u+v)'=u'+v'$;
$ (Cu)'=C \cdot v'$;
$ (u \cdot v)'=u' \cdot v +u \cdot v' $;
$ \left(\frac{1}{v}\right)' =-\frac{v'}{v^{2}} $;
$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v -u \cdot v'}{v^{2}} $.

Производная сложной функции

$$ (h(f(x)))'=h'(f(x)) \cdot f'(x)$$

Гоеметрический смылс производной

состоит в том, что значение производной функции в точке $x_{0}$ равно угловому коэффициенту касательной (тангенс угла $a$ ), проведенной к графику функции в точке с абциссой $x_{0}$. $$ k=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$$

Физический смысл производной

состоит в том, что производная от координаты по времени есть мгновенная скорость: $$v(t)=s'(t)$$

Если в точке $x_{0}$ в произволной точке $f(x)$ меняет знак с "+" на "-", то $x_{0}$— точка максимума функции $f(x)$.

точка максимума функции

Если в точке $x_{0}$ в произволной точке $f(x)$ меняет знак с "-" на "+", то $x_{0}$— точка минимума функции $f(x)$.

точка максимума функции

Функция, \( f(x)\)	Производная, \( f'(x)\)
\( A (const), A\in\mathbf{R}\)	\( 0\)
\( kx+b, k\in\mathbf{R}, b\in\mathbf{R} \)	\( k, k\in\mathbf{R} \)
\( x^{2} \)	\( 2x \)
\( x^{n}, n\in\mathbf{N} \)	\( nx^{n-1}, n\in\mathbf{N} \)
\( \frac{1}{x} \)	\( -\frac{1}{x^{2}} \)
\( \frac{1}{x^{n}}, n\in\mathbf{N} \)	\( -\frac{n}{x^{n+1}}, n\in\mathbf{N} \)
\( \sqrt{x} \)	\( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \sqrt[n]{x}, n\in\mathbf{N} \)	\( \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}, n\in\mathbf{N} \)
\( \frac{1}{\sqrt{x}} \)	\( -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \)
\( x^{a}, a\in\mathbf{R} \)	\( ax^{a-1}, a\in\mathbf{R} \)
\( tgx \)	\( \frac{1}{cos^{2}x} \)
\( ctgx \)	\( -\frac{1}{sin^{2}x} \)
\( sinx \)	\( cosx \)
\( cosx \)	\( -sinx \)
\( sin^{2}x \)	\( sin2x \)
\( cos^{2}x \)	\( -sin2x \)
\( e^{x} \)	\( e^{x} \)
\( a^{x} \)	\( a^{x}lna \)
\( lnx \)	\( \frac{1}{x} \)
\( log_{a}x \)	\( \frac{1}{xlna} \)
\( arcsinx \)	\( \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
\( arccosx \)	\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
\( arctgx \)	\(\frac{1}{1+x^{2}} \)
\( arcctgx \)	\(-\frac{1}{1+x^{2}} \)