Алгебра
Тригонометрия
Геометрия
Химия
Теория вероятностей
Физика




Блокируя рекламу вы отрезаете наш единственный источник заработка и это серьезно влияет на нашу работу. Пожалуйста отключите adblock или другие программы блокирующие рекламу.




Решение нелинейных уравнений методом Ньютона

Введите начальное точку:

x0=

Введите точность:

ε =

Введите левую часть уравнения (неизвестная - x):

f(x) =

Пример уравнения:

sin(x)+x^2=0

где f(x)=sin(x)+x^2

Теория

Рассмотрим уравнение с одной неизвестной x

f(x)=0

Теорема: Если f - определенна, непрерывна и дважды дифференцируема на отрезке [a,b], а также верно условие f(a)f(b) < 0, т.е. функция принимает на концах отрезка значения с противоположными знаками, а вторая производная не меняет знака на всем отрезке, то данное уравнение имеет на этом отрезке единственное решение.

Метод Ньютона, называемый также методом касательных, состоит в следующем. Рассмотрим в точке x0 касательную к кривой y=f(x), задаваемую уравнением:

решения нелинейных уравнений

Положим y=0, находим точку x1 пересечения касательной с осью абсцисс:

решения нелинейных уравнений

Построив касательную в точке x1 получаем

решения нелинейных уравнений

по аналогичной формуле точку x2 пересечения этой касательной с осью x и т.д.:

решения нелинейных уравнений

Из геометрических соображений ясно, что при условиях теоремы итерационная последовательность {xn} монотонно сходится к искомому решению уравнения.

Метод имеет квадратичную скорость сходимости, но очень чувствителен к выбору начального приближения.




comments powered by HyperComments